Проблемы возникли в основном из-за отсутствия элементарных примеров в гугл консоле, подразумевается, что ты читаешь между строк или ознакомлен с документацией гугл. Так же есть несоответствия у информации в консоле с информацией в документации, например путь для запроса к АПИ.
При запосе curl необходимо использовать заголовок:
curl_setopt($ch, CURLOPT_HTTPHEADER, [ 'Content-Type: application/JSON']);Если использовать доступ через АПИ необходимо получить ключ АПИ в Гугл. Кол-во бесплатных запросов ограничено.
Результат оценки капчи нужно самостоятельно извлекать из полученного json ответа и на основании этого принимать решение выполнять свой код или нет.